Aljabar Linear Contoh

3 (cos (π) + i sin (π))

$3 (\cos (π) + i \sin (π))$

Langkah 1

Hitung jarak dari

(a, b)

$(a, b)$ ke titik awal menggunakan rumus

r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

r = \sqrt{{(3 cos (π))}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Langkah 2

Sederhanakan

\sqrt{{(3 cos (π))}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$\sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

r = \sqrt{{(3 (- cos (0)))}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 (- \cos (0)))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Langkah 2.2

Nilai eksak dari

cos (0)

$\cos (0)$ adalah

1

$1$ .

r = \sqrt{{(3 (- 1 \cdot 1))}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 (- 1 \cdot 1))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Langkah 2.3

Kalikan

3 (- 1 \cdot 1)

$3 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

1

$1$ .

r = \sqrt{{(3 \cdot - 1)}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 \cdot - 1)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Langkah 2.3.2

Kalikan

3

$3$ dengan

- 1

$- 1$ .

r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Langkah 2.4

Naikkan

- 3

$- 3$ menjadi pangkat

2

$2$ .

r = \sqrt{9 + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{9 + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Langkah 2.5

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

r = \sqrt{9 + {(sin (0) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{9 + {(\sin (0) \cdot 3)}^{2}}$

Langkah 2.6

Nilai eksak dari

sin (0)

$\sin (0)$ adalah

0

$0$ .

r = \sqrt{9 + {(0 \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{9 + {(0 \cdot 3)}^{2}}$

Langkah 2.7

Kalikan

0

$0$ dengan

3

$3$ .

r = \sqrt{9 + 0^{2}}

$r = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Langkah 2.8

Menaikkan

0

$0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan

0

$0$ .

r = \sqrt{9 + 0}

$r = \sqrt{9 + 0}$

Langkah 2.9

Tambahkan

9

$9$ dan

0

$0$ .

r = \sqrt{9}

$r = \sqrt{9}$

Langkah 2.10

Tulis kembali

9

$9$ sebagai

3^{2}

$3^{2}$ .

r = \sqrt{3^{2}}

$r = \sqrt{3^{2}}$

Langkah 2.11

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

r = 3

$r = 3$

r = 3

$r = 3$

Langkah 3

Hitung sudut acuan

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{b}{a} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{sin (π) \cdot 3}{3 cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$

Langkah 4

Sederhanakan

arctan (∣ ∣ ∣ \frac{sin (π) \cdot 3}{3 cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$\arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Batalkan faktor persekutuan dari

3

$3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{sin (π) \cdot 3}{3 cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$

Langkah 4.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{sin (π)}{cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π)}{\cos (π)} |)$

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{sin (π)}{cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π)}{\cos (π)} |)$

Langkah 4.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{sin (0)}{cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (0)}{\cos (π)} |)$

Langkah 4.2.2

Nilai eksak dari

sin (0)

$\sin (0)$ adalah

0

$0$ .

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{0}{cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{\cos (π)} |)$

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{0}{cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{\cos (π)} |)$

Langkah 4.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{0}{- cos (0)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- \cos (0)} |)$

Langkah 4.3.2

Nilai eksak dari

cos (0)

$\cos (0)$ adalah

1

$1$ .

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{0}{- 1 \cdot 1} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1 \cdot 1} |)$

Langkah 4.3.3

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

1

$1$ .

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{0}{- 1} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1} |)$

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{0}{- 1} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1} |)$

Langkah 4.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut

\frac{0}{- 1}

$\frac{0}{- 1}$ .

θˆ = arctan (| - 1 \cdot 0 |)

$θ̂ = \arctan (| - 1 \cdot 0 |)$

Langkah 4.4.2

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

0

$0$ .

θˆ = arctan (| 0 |)

$θ̂ = \arctan (| 0 |)$

θˆ = arctan (| 0 |)

$θ̂ = \arctan (| 0 |)$

Langkah 4.5

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara

0

$0$ dan

0

$0$ adalah

0

$0$ .

θˆ = arctan (0)

$θ̂ = \arctan (0)$

Langkah 4.6

Nilai eksak dari

arctan (0)

$\arctan (0)$ adalah

0

$0$ .

θˆ = 0

$θ̂ = 0$

θˆ = 0

$θ̂ = 0$

Langkah 5

Tentukan kuadrannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

(3 (- cos (0)), sin (π) \cdot 3)

$(3 (- \cos (0)), \sin (π) \cdot 3)$

Langkah 5.2

Nilai eksak dari

cos (0)

$\cos (0)$ adalah

1

$1$ .

(3 (- 1 \cdot 1), sin (π) \cdot 3)

$(3 (- 1 \cdot 1), \sin (π) \cdot 3)$

Langkah 5.3

Kalikan

3 (- 1 \cdot 1)

$3 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

1

$1$ .

(3 \cdot - 1, sin (π) \cdot 3)

$(3 \cdot - 1, \sin (π) \cdot 3)$

Langkah 5.3.2

Kalikan

3

$3$ dengan

- 1

$- 1$ .

(- 3, sin (π) \cdot 3)

$(- 3, \sin (π) \cdot 3)$

(- 3, sin (π) \cdot 3)

$(- 3, \sin (π) \cdot 3)$

Langkah 5.4

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

(- 3, sin (0) \cdot 3)

$(- 3, \sin (0) \cdot 3)$

Langkah 5.5

Nilai eksak dari

sin (0)

$\sin (0)$ adalah

0

$0$ .

(- 3, 0 \cdot 3)

$(- 3, 0 \cdot 3)$

Langkah 5.6

Kalikan

0

$0$ dengan

3

$3$ .

(- 3, 0)

$(- 3, 0)$

Langkah 5.7

Karena koordinat x negatif dan koordinat y

0

$0$ , titiknya terletak di sumbu x di antara kuadran kedua dan ketiga. Kuadrannya diberi nama berlawanan arah jarum jam, mulai dari kanan-atas.

Antara Kuadran

2

$2$ dan

3

$3$

Antara Kuadran

2

$2$ dan

3

$3$

Langkah 6

Gunakan rumusnya untuk menentukan akar-akar dari bilangan kompleks.

{(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ ,

k = 0, 1, \dots, n - 1

$k = 0, 1, \dots, n - 1$

Langkah 7

Substitusikan

r

$r$ ,

n

$n$ , dan

θ

$θ$ ke dalam rumusnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan

{(3)}^{\frac{1}{2}}

${(3)}^{\frac{1}{2}}$ dan

\frac{θ + 2 π k}{2}

$\frac{θ + 2 π k}{2}$ .

c i s \frac{{(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$c i s \frac{{(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

Langkah 7.2

Gabungkan

c

$c$ dan

\frac{{(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$\frac{{(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$ .

i s \frac{c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}

$i s \frac{c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$

Langkah 7.3

Gabungkan

i

$i$ dan

\frac{c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}

$\frac{c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$ .

s \frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}

$s \frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$

Langkah 7.4

Gabungkan

s

$s$ dan

\frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}

$\frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$ .

\frac{s (i (c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}

$\frac{s (i (c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}$

Langkah 7.5

Hilangkan tanda kurung.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Hilangkan tanda kurung.

\frac{s (i (c (3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}

$\frac{s (i (c (3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}$

Langkah 7.5.2

Hilangkan tanda kurung.

\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}

$\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$

Langkah 7.5.3

Hilangkan tanda kurung.

\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k))}{2}

$\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k))}{2}$

Langkah 7.5.4

Hilangkan tanda kurung.

\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}

$\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$

Langkah 7.5.5

Hilangkan tanda kurung.

\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k)}{2}

$\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k)}{2}$

Langkah 7.5.6

Hilangkan tanda kurung.

\frac{s (i c) \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$\frac{s (i c) \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

Langkah 7.5.7

Hilangkan tanda kurung.

\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

Langkah 8

Substitusikan

k = 0

$k = 0$ ke dalam rumusnya dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Hilangkan tanda kurung.

$k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})$

Langkah 8.2

Kalikan

$2 π (0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Kalikan

$0$ dengan

$2$ .

$k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0 π}{2})$

Langkah 8.2.2

Kalikan

$0$ dengan

$π$ .

$k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0}{2})$

Langkah 9

Substitusikan

$k = 1$ ke dalam rumusnya dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Hilangkan tanda kurung.

$k = 1 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})$

Langkah 9.2

Kalikan

$2$ dengan

$1$ .

$k = 1 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π}{2})$

Langkah 10

Sebutkan penyelesaian-penyelesaiannya.

$k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0}{2})$

$k = 1 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π}{2})$